Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若橢圓C的離心率為，的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數k使得以為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（I）根據橢圓離心率、橢圓的定義列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.

（II）設出兩點的坐標，聯立直線的方程和橢圓方程，計算判別式求得的取值范圍，并寫出根與系數關系，根據圓的幾何性質得到，由此得到，由此列方程，解方程求得的值.

（I）由題意知，所以所求橢圓的標準方程是.

（II）假設存在這樣的實數使得以為直徑的圓恰好經過原點.

設，聯立方程組，

消去得，

由題意知，是此方程的兩個實數解，

所以，解得或，

所以.

又因為以為直徑的圓過原點，所以，所以，

而， ，即，解得.

故存在這樣的直線使得以為直徑的圓過原點.