Question

已知命題P：函數y=log_a（x+1）在定義域內單調遞減；命題Q：不等式 x²+（2a-3）x+1＞0的解集為R．如果P且Q是真命題，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  2

  ，1）
• D．（1，5）

Answer 1

分析：根據對數函數的單調性與底數的關系，我們可以判斷出命題P為真時，實數a的取值范圍，根據二次不等式恒成立的充要條件，可以判斷出命題Q為真時，實數a的取值范圍，進而根據“P且Q”是真命題，得到命題P和Q必然全為真，綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：命題P：函數y=log_a（x+1）在（0，+∞）內單調遞減，為真命題時，0＜a＜1
命題Q：不等式 x²+（2a-3）x+1＞0的解集為R，為真命題時，（2a-3）²-4＜0，解得

1

2

＜a＜

5

2

若“P且Q”是真命題，
則命題P和Q必然全為真
∴實數a的取值范圍是（

1

2

，1）•
故答案為 C

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中分別求出命題P和命題Q為真時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．