Question

已知命題P：函數y=log_a（1-2x）在定義域上單調遞增，命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數x恒成立，若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出P，Q成立的等價條件，利用P∨Q是真命題，P∧Q是假命題，確定實數a的取值范圍

解答：解：若函數y=log_a（1-2x）在定義域上單調遞增，根據復合函數的單調性可知0＜a＜1，即P：0＜a＜1．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數x恒成立，
當a=2時，不等式等價為-4＜0，成立．
當a≠0時，要使不等式恒成立，則

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2，
綜上：-2＜a≤2，即Q：-2＜a≤2，
若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題，
則P，Q一真一假，
若P假Q真，則

a≥1或a≤0 -2＜a≤2

，解得-2＜a≤0或1≤a≤2．
若P真Q假，則

0＜a＜1 a＞2或a≤-2

，此時無解．
綜上：實數a的取值范圍是-2＜a≤0或1≤a≤2．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的真假關系，先求出命題P，Q成立的等價條件是解決本題的關鍵．