Question

【題目】設函數f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數的底數.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；

（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區間（1，+∞）內恒成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，<0，單調遞減；當時，＞0，單調遞增；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，判斷函數的單調性；第（Ⅱ）問，利用導數判斷函數的單調性，從而證明結論，第（Ⅲ）問，構造函數=（），利用導數判斷函數的單調性，從而求解a的值.

試題解析：（Ⅰ）

<0，在內單調遞減.

由=0有.

當時，<0，單調遞減；

當時，＞0，單調遞增.

（Ⅱ）令=，則=.

當時，＞0，所以，從而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.

當，時，=.

故當＞在區間內恒成立時，必有.

當時，＞1.

由（Ⅰ）有,而，

所以此時＞在區間內不恒成立.

當時，令=（）.

當時，=.

因此，在區間單調遞增.

又因為=0，所以當時，=＞0，即＞恒成立.

綜上，.