Question

如圖，一個棱長為a的立方體內有1個大球和8個小球，大球與立方體的六個面都相切，每個小球與大球外切且與共頂點的三個面也相切，現在把立方體的每個角都截去一個三棱錐，截面都為正三角形并與小球相切，變成一個新的立體圖形，則原立方體的每條棱還剩余（　　）

• A．

  (6-3 3 )

  2

  a
• B．(6-3

  3

  )a
• C．

  5 3 -8

  2

  a
• D．(5

  3

  -8)a

Answer 1

分析：先得出大球的半徑為

a

2

，設小球的半徑r，利用三角形的內切圓半徑公式用a 來表示r，再設小球切截面CDE于F，表示出AF的長，最后利用等積法求得結果即可．

解答：解：大球的半徑為

a

2

，設小球的半徑r，則2

3

r+2r+a=

3

a⇒r=

3 -1

2( 3 +1)

a=

2- 3

2

a
設小球切截面CDE于F，則AF=

3 a-4r-a

2

=

3 3 -5

2

a，
設AC=x，利用等積法求得x=

3

AF=

9-5 3

2

a，所以CH=a-2AF=(5

3

-8)a
故選D．

點評：本題是基礎題，考查棱柱的結構特征知識，本題的解答采用截面法，平面幾何的應用，考查空間想象能力．