Question

設S_n是正項數列{a_n的前n項和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等比數列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 對一切正整數n都成立？并證明你的結論．
（3）設

Cn

=

1

1+an

(n∈N*)，且數列{C_n}的前n項和為T_n，試比較與

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（1）本題已知數列前n項和的表達式，求通項通常用a_n=S_n-S_n-1，求通項，再驗證n=1時，是否適合所求的通式，若符合就寫成統一式，否則，寫成分段的形式；
（2）假設存在這樣的等比數列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 對一切正整數n都成立，故可先研究前兩項，找出規律，提出猜想，再進行證明得出結論；
（3）由（1），將a_n=2n+1代入，求出C_n的表達式，再所其形式求出列{C_n}的前n項和為T_n，由和的形式與

1

6

的比較即可得到它們的大小關系．

解答：解：（1）由S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n-

3

4

  得S_n+1=

1

4

an+12+

1

2

an+1-

3

4

，
  相減并整理得 （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
  又由于a_n+1+a_n＞0，則a_n+1=a_n+2，故{a_n}是等差數列．
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a₁²-

3

4

＞0，所以a₁=3
    故a_n=2n+1                                …4分
（2）當n=1，2時，a₁b₁=2²（2×1-1）+2=6，
a₁b₁+a₂b₂=2³（2×2-1）+2=26，可解得b₁=2，b₂=4，猜想b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…
+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2成立．
證明：3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2恒成立．
令S=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ   ①
2S=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：S=（2n+1）2ⁿ⁺¹-2•2ⁿ⁺¹+2=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
故存在等比數列{b_n}符合題意…8分
（3）C_n=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
則T_n=c₁+c₂+…+c_n＜

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）＜

1

6

故Tn＜

1

6

…12分

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查了數列遞推式的應用，錯位相減法求和的技巧放縮法證明不等式，解題的關鍵是熟練掌握錯位相減法的技巧，放縮法的技巧，本題中第二問先研究前兩項得出規律，提出猜想，再進行證明是研究規律不明顯的問題時常用的思路，第三問中用到了放大的技巧，要注意不要放得過大，放縮法證明不等式技巧性很強，需要有有較高的觀察能力與判斷能力，既要放，又不能放得過了頭，謹記