Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．正項數列{b_n}滿足bn2=a_na_n+1（n∈N^*）．若 {b_n}是公比為

2

的等比數列
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a=

2

，S_n為{a_n}的前n項和，記T_n=

17Sn-S2n

an+1

設Tn0為數列{T_n}的最大項，求n₀．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

bn+12

bn2

=2，由此可推得

an+2

an

=2，所以數列{a_n}奇數項偶數項均構成等比數列，分段可寫出{a_n}的通項公式；
（2）a=

2

時，{a_n}為等比數列，可表示出S_n，進而表示出T_n，運用基本不等式可求得數列{T_n}的最大項及相應的n值；

解答：解：（1）

bn+12

bn2

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=2，
又∵a₁=1，a₂=a（a＞0），
∴a_n=

( 2 )n-1，n為正奇數 a( 2 )n-2，n為正偶數

．
（2）若a=

2

，則an=(

2

)n-1（n∈N^*），則{a_n}為等比數列，公比為

2

，
所以Sn=

1×[1-( 2 )n]

1- 2

=

1-( 2 )n

1- 2

．
T_n=

17Sn-S2n

an+1

=

1

1- 2

[(

2

)n+

16

( 2 )n

-17]≤

1

1- 2

(8-17)=9(

2

+1)．
等號當且僅當(

2

)n=

16

( 2 )n

，即n=4時取到，
n₀=4．

點評：本題考查等比數列的通項公式及前n項和公式，考查基本不等式求最值，考查學生分析解決問題的能力，屬難題．