Question

如果一個數列的各項的倒數成等差數列，我們把這個數列叫做調和數列
（1）若a²，b²，c²成等差數列，證明b+c，c+a，a+b成調和數列；
（2）設S_n是調和數列{

1

n

}的前n項和，證明對于任意給定的實數N，總可以找到一個正整數m，使得當n＞m時，S_n＞N．

Answer 1

分析：（1）欲證b+c，c+a，a+b成調和數列，只須證

2

c+a

=

1

b+c

+

1

a+b

，只須證2b²=a²+c²．因為a²，b²，c²成等差數列，所以2b²=a²+c²成立，由此能證明b+c，c+a，a+b成調和數列．
（2）Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，所以S2k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2 k

＞1+

k

2

，對于任一給定的N，欲使S_n＞N，只須1+

k

2

＞N，即k＞2（N-1），由此能夠證明當n＞m時，S_n＞N．

解答：證明：（1）欲證b+c，c+a，a+b成調和數列，
只須證

2

c+a

=

1

b+c

+

1

a+b

只須證2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化簡后，只須證2b²=a²+c²
因為a²，b²，c²成等差數列，所以2b²=a²+c²成立
所以b+c，c+a，a+b成調和數列
（2）Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴S2k=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2k   ＞1+ 1 2 +( 1 4 + 1 4 )+( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 )   +…+( 1 2k + 1 2k + …+ 1 2k )  = 1+ 1 2 + 1 2 +…+ 1 2 =1+ k 2

對于任一給定的N，欲使S_n＞N，
只須1+

k

2

＞N，
即k＞2（N-1），
取m=[2^2（N-1）]+1（其中[2^2（N-1）]表示2^2（N-1）的整數部分），
則當n＞m時，S_n＞N．
（本題解法和答案不唯一）

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．