【題目】已知直線
與拋物線
相切，且與
軸的交點為
，點
.若動點
與兩定點
所構成三角形的周長為6．
(Ⅰ) 求動點
的軌跡
的方程；
(Ⅱ) 設斜率為
的直線
交曲線
于
兩點，當
，且
位于直線
的兩側時，證明： 
.
【答案】(Ⅰ) 
（
）;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ先由判別式為零可得
的值，再根據三角形周長可得
進而由橢圓定義可得方程；（Ⅱ）設直線
方程
，聯立
得
，根據直線斜率公式及韋達定理利用分析法證明
即可.
試題解析：(Ⅰ) 因為直線
與拋物線
相切，所以方程
有等根，
則
，即
，所以
．
又因為動點
與定點
所構成的三角形周長為6,且
，
所以
根據橢圓的定義，動點
在以
為焦點的橢圓上，且不在
軸上，
所以
，得
，則
，
即曲線
的方程為
（
）.
(Ⅱ)設直線
方程
，聯立
得
，
△=-3
+12>0，所以
， 此時直線
與曲線
有兩個交點
, 
，
設
， 
，則
， 
∵
，不妨取
，
要證明
恒成立，即證明
，
即證
，也就是要證
即證
由韋達定理所得結論可得此式子顯然成立，
所以
成立.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
是過點
，傾斜角為
的直線，以直角坐標系
的原點為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
.
（1）求曲線
的普通方程和曲線
的一個參數方程；
（2）曲線
與曲線
相交于
兩點，求
的值.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，將曲線
上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線
．
（Ⅰ）求曲線
的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線
與曲線
交于
兩點，點
，求
的值．
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【題目】已知點
在拋物線
上，且
到拋物線
的焦點
的距離等于2.
求拋物線
的方程；
若直線
與拋物線
相交于
兩點，且
為坐標原點），求證直線
恒過
軸上的某定點，并求出該定點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數，求實數a的取值范圍．
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