Question

已知橢圓兩個焦點的坐標分別為，，并且經過點．過左焦點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點． 設，延長，分別與橢圓交于兩點．

（I）求橢圓的標準方程；   （II）若點，求點的坐標；

（III）設直線的斜率為，求證：為定值．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，

由橢圓的定義知,

.  ----------------2分

所以，,

所以所求橢圓的標準方程為.  ---------------4分

（II）直線的方程為，

代入橢圓方程，得

解得（舍），或.    --------------6分

代入直線的方程，得，

所以點的坐標為.  ---------------7分

（III）設，，，，

直線的方程為，所以.

代入橢圓方程，消去得：

.   --------------8分

又因為點在橢圓上，有

方程化簡為.     -----------------9分

則，且，所以.

代入直線的方程，得，所以 .  -------------10分

同理，

.  ------------------12分

因為三點共線，所以.

即.  --------------------13分

所以，而.

所以為定值.  -------------------14分

 

【解析】略