Question

如圖．在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐，且AB=2，P∈平面CC₁D₁D，PD=PC=AD=

2

．PC∥平面AB₁D
（1）求證：PD⊥平面PBC；
（2）若AA₁=a，求a值；
（3）求點C₁到平面PAB的距離；
（4）若點P，A，D，C₁在同一球面上，求此球面的面積．

Answer 1

分析：（1）要證線面垂直，只需證線線垂直．據PD=PC=

2

，AB=2，可得PD⊥PC；BC⊥平面PDC，可得PD⊥BC，從而得證．

（2）若PC∥平面AB₁D，據線面平行的性質定理可得PC∥DC₁，知∠CDC₁=∠PCD=45°，則AA₁=CD=2即可．

（3）欲求點C到平面PAB的距離，直接由點C作平面PAB的垂線，需補形，不易作出，考慮用等積法完成，十分簡潔．

（4）在條件及（2）的前提下，可知PD，PA，PC₁兩兩垂直，引導學生分析：點P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD為相鄰三條棱的長方體的外接球面，從而可求此球面的直徑，可求出球面的面積．

解答：證明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，
∴BC⊥平面CC₁D₁D，
∵P∈平面CC₁D₁D，
∴PD?平面CC₁D₁D，
∴PD⊥BC．
∵PD=PC=

2

，AB=2，
∴△PCD為等腰直角三角形，
∴PD⊥PC．
∵PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，
∴PD⊥平面PBC．
解：（2）當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，
∴∠CDC₁=45°，
∵∠PCD=45°，
又PC和C₁D在同一個平面內，
∴PC∥DC₁，
∵DC₁?平面AB₁D，PC?平面AB₁D，
∴PC∥平面AB₁D．
（3）過點P作PE⊥CD交CD于E，
∵面ABCD⊥面PDC，面ABCD∩面PDC=CD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE=1．
連接AC，設點C到平面PAB的距離為h，
三棱錐P-ABC的體積與三棱錐C-PAB的體積相等，
則

1

3

S△ABC•PE=

1

3

S△PAB•h，
∵PA=PD=2，AB=2，
∴S△PAB=

1

2

×2×

3

2

×2=

3

，
S△ABC=

1

2

×2×

2

=

2

，
∴

1

3

×

2

×1=

1

3

×

3

h，h=

6

3

，
∴點C到平面PAB的距離為

6

3

．
（4）∵AD⊥平面CC₁D₁D（6），PD，DC₁在平面CC₁D₁D內，
AD⊥PD，AD⊥DC₁，
由（2）知∠PDC₁=90°，
即PD⊥DC₁，
∴PD，PA，PC₁兩兩垂直，
∴點P，A，D，C₁所在的球面就是以PD，DC₁，AD為相鄰三條棱的長方體的外接球面，
∵PD=AD=

2

，DC1=2

2

，
∴此球面的直徑2R=2

3

，
∴球面的半徑R=

3

，
∴所求球面的面積為4πR2=4π(

3

)2=12π．

點評：本題考查點、線、面間的距離和計算，綜合性性，難度大，是高考的重點，計算繁瑣，容易出錯．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意化立體問題為平面問題．