Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AB=2，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

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．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AA₁=a，當a為何值時，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ），要證明PD⊥平面PBC，只需證明PD垂直于平面PBC的兩條相交直線即可，由PD=PC=

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可得PD⊥PC，而ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，容易證明BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，容易得到PD⊥BC，從而得證；
對于（Ⅱ），由于AB₁∥DC₁，要證PC∥平面AB₁D，只需證明PC∥DC₁，如右圖，只需證明∠PCC₁與∠DC₁C互補即可，由于∠PCC₁=135⁰，所以∠DC₁C=45°，即AA₁=a=2．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為PD=PC=

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，CD=AB=2，所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．（3分）
因為PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）

（Ⅱ）當a=2時，PC∥平面AB₁D．（9分）
當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，所以∠C₁DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90⁰，所以C₁D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個平面內，所以PC∥C₁D．（13分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定及線面平行的判定，要注意線面垂直中的轉化思想，第二問中要注意轉化到平面內進行證明與判定．