Question

甲、乙、丙三人獨立地解同一道數學題，甲能解決這道題的概率是P₁，乙能解決這道題的概率是P₂，丙能解決這道題的概率是P₃，解決下列問題：

(1)求沒有人能解出這道題的概率；

(2)求至少有一個人能解出這道題的概率；

(3)求有人沒解出這道題的概率；

(4)求恰有一人能解出這道題的概率．

Answer 1

答案：
解析：

解析：設甲、乙、丙能解出這道題的事件分別為A1、A2、A3，則A1、A2、A3是相互獨立事件，但不是互斥事件． 　　(1)沒有人能解出這道題的事件A＝123， 　　∵1、2、3相互獨立， 　　∴P(A)＝P(123)＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)． 　　(2)至少有一人能解出這道題的事件為B，但不能運用互斥事件的和的概率公式，注意到B與A＝123是對立事件， 　　∴P(B)＝1－P(123)＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)． 　　(3)有人沒解出這道題的事件為C，如果直接表達C比較復雜，由于C與事件“A1A2A3”是對立事件， 　　∴P(C)＝1－P(123)＝1－P1P2P3． 　　(4)恰有一人能解出這道題的事件D＝A123＋A213＋A321． 　　∵A123，A231與A312彼此互斥， 　　∴P(D)＝P(123)＋P(231)＋P(312)＝ 　　P1(1－P2)(1－P3)＋P2(1－P3)(1－P1)＋P3(1－P1)(1－P2)．