Question

甲、乙、丙三人獨立地對某一技術難題進行攻關．甲能攻克的概率為b，乙能攻克的概率為c，丙能攻克的概率為z=（b-3）²+（c-3）²．
（Ⅰ）求這一技術難題被攻克的概率；
（Ⅱ）現假定這一技術難題已被攻克，上級決定獎勵z=4萬元．獎勵規則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎金x²-bx-c=0萬元；若只有2人攻克，則獎金獎給此二人，每人各得a∈1，2，3，4萬元；若三人均攻克，則獎金獎給此三人，每人各得

a

3

萬元．設甲得到的獎金數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據所給的條件知，甲、乙、丙三人獨立地，這是一個相互獨立事件同時發生的概率，正面解決比較麻煩，需要從對立事件來解決，能夠攻克的對立事件是都不能攻克．
（II）由題意得到變量的可能取值，結合變量對應的事件和條件概率的公式，求出每一個變量的概率，寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知這一個技術被攻克的對立事件是三個人都沒有攻克，
所求事件的概率P=1-（1-

1

3

）（1-

1

4

）[1-

1

5

]=

24

60

（II）由題意知X的可能取值是0，

a

3

，

a

2

，a
P（X=0）=

1 3 (1- 1 4 × 1 5 )

59 60

=

19

59

，P（X=

a

3

）=

2 3 × 3 4 ×  4 5

59 60

=

24

59

P（X=

a

2

）=

2 3 ( 3 4 × 1 5 + 1 4 × 4 5 )

59 60

=

14

59

，P（X=a）=1-

19

59

-

24

59

-

14

59

=

2

59

∴X的分布列是

X	0	a 3	a 2	a
P	19 59	24 59	14 59	2 59

∴EX=0×

19

59

+

a

3

×

24

59

+

a

2

×

14

59

+a×

2

59

=

17a

59

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是數字的運算比較麻煩，需要認真計算，得到結果．
本題需要改正：甲能攻克的概率為3分之1，乙能攻克的概率為4分之1，丙能攻克的概率為z=5分之1．
（Ⅰ）求這一技術難題被攻克的概率；
（Ⅱ）現假定這一技術難題已被攻克，上級決定獎勵a萬元．獎勵規則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎金；若只有2人攻克，則獎金獎給此二人，每人各得一半；若三人均攻克，則獎金獎給此三人，每人各得

a

3

萬元．設甲得到的獎金數為X，求X的分布列和數學期望．