Question

甲、乙、丙三人獨立地解同一道數學題,甲能解決這道題的概率是P₁,乙能解決這道題的概率是P₂,丙能解決這道題的概率是P₃,解決下列問題:

(1)求沒有人能解出這道題的概率；

(2)求至少有一個人能解出這道題的概率；

(3)求有人沒解出這道題的概率；

(4)求恰有一人能解出這道題的概率.

Answer 1

解析：設甲、乙、丙能解出這道題的事件分別為A₁、A₂、A₃,則A₁、A₂、A₃是相互獨立事件,但不是互斥事件.

(1)沒有人能解出這道題的事件A=

∵、、相互獨立,

∴P(A)=P()=(1-P₁)(1-P₂)(1-P₃).

(2)至少有一人能解出這道題的事件B=A₁+A₂+A₃,

但不能運用互斥事件的和的概率公式,注意到B與A=是對立事件,

∴P(B)=1-P()=1-(1-P₁)(1-P₂)(1-P₃).

(3)有人沒解出這道題的事件為C,如果直接表達C比較復雜,由于C與事件“A₁A₂A₃”是對立事件,

∴P(C)=1-P(A₁A₂A₃)=1-P₁P₂P₃.

(4)恰有一人能解出這道題的事件D=A₁+A₂+A₃.

∵A₁,A₂與A₃彼此互斥,

∴P(D)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)=P₁(1-P₂)(1-P₃)+P₂(1-P₃)(1-P₁)+P₃(1-P₁)(1-P₂).