Question

已知，函數，．（的圖象連續不斷）
(1) 求的單調區間；
(2) 當時，證明：存在，使；
(3) 若存在屬于區間的，且，使，證明：．

Answer 1

(Ⅰ) 的單調增區間是，單調減區間是．
(Ⅱ)存在，使．
(Ⅲ)　．

試題分析：(Ⅰ) ，．          2分
令，則．          3分
當變化時，，的變化情況如下表：
　　

	單調遞增	極大值	單調遞減

所以的單調增區間是，單調減區間是．
.. ...4分
(Ⅱ) 當時，，
由(Ⅰ)知，在單調遞增，在單調遞減．        5分
令．          ...6分
由于在單調遞增，則，因而．     7分
取，則，          ...8分
所以存在，使，即存在，使．   9分
(Ⅲ) 由及的單調性知．    10分
從而在區間上的最小值為．又由，，則　

．      11分
所以     12分
即          13分
所以　　　．          14分
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。本題采用“表解法”，清晰明了。涉及不等式證明問題，往往要轉化成研究函數的最值，通過構建a的不等式組，求得a的范圍。本題涉及對數函數，要注意函數的定義域。