Question

(本小題滿分12分)直三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

18.（Ⅰ）證明：在△ABC中，因為 AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+ BC²= AB²， 所以 AC⊥BC．                      
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以C C₁⊥AC．                  
因為BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B₁C₁C．     
所以AC⊥B₁C．         …………4分
（Ⅱ）證明：連結BC₁，交B₁C于E，連接DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，所以側面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以DE// AC₁．因為DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD．........8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．則B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁(0, 4, 4)，B₁(3, 0, 4)．
設D (a, b, 0)（，），
因為點D在線段AB上，且，即．
所以，，，, ,．
平面BCD的法向量為．設平面B₁ CD的法向量為，
由，，得，
所以，，.所以 ．
所以二面角的余弦值為．……………12分

略