Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，過橢圓M： （a＞b＞0）右焦點的直線x+y﹣ =0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為 ．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）把右焦點（c，0）代入直線x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點P（x0 ， y0），
則 ， ，相減得 ，
∴ ，
∴ ，又 = ，
∴ ，即a2=2b2 ．
聯立得 ，解得 ，
∴M的方程為 ．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可設直線CD的方程為y=x+t，
聯立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
設C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），∴ ， ．
∴|CD|= = = ．
聯立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ，
∴交點為A（0， ），B ，
∴|AB|= = ．
∴S四邊形ACBD= = = ，
∴當且僅當t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為 ，滿足（*）．
∴四邊形ACBD面積的最大值為 ．

【解析】（Ⅰ）把右焦點（c，0）代入直線可解得c．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點P（x0 ， y0），利用“點差法”即可得到a，b的關系式，再與a2=b2+c2聯立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可設直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y﹣ =0與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|AB|，利用S四邊形ACBD= 即可得到關于t的表達式，利用二次函數的單調性即可得到其最大值．