Question

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是PC，PA的中點，且PA=AB=2AD．
（I）求二面角P-AB-M的余弦值大小；
（Ⅱ）在線段AD上是否存在一點G，使GM⊥平面PBC？若不存在，說明理由；若存在，確定點c的位置．

Answer 1

分析：（I）設PA=AB=2AD=2，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AB-M的余弦值．
（Ⅱ）假設線段AD上是存在一點G（x₀，0，0），使GM⊥平面PBC，則

GM

=（

1

2

-x0，1，1），

PB

=(0，2，-2)，

PC

=(1，2，-2)，由GM⊥平面PBC，知

GM

•

PB

=0，

GM

•

PC

=0，由此能推導出線段AD的中點G，使GM⊥平面PBC．

解答：解：（I）設PA=AB=2AD=2，
以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（1，2，0），
∴M（

1

2

，1，1），

AM

=(

1

2

，1，1)，

AB

=（0，2，0），
設平面ABM的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

AM

=0，

n

•

AB

=0，
∴

1 2 x+y+z=0 2y=0

，∴

n

=（2，0，-1），
∵平面APB的法向量

m

=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

2× 5

|=

5

5

．
（Ⅱ）假設線段AD上是存在一點G（x₀，0，0），使GM⊥平面PBC，
則

GM

=（

1

2

-x0，1，1），

PB

=(0，2，-2)，

PC

=(1，2，-2)，
∵GM⊥平面PBC，∴

GM

•

PB

=0，

GM

•

PC

=0，
∴

2-2=0 1 2 -x0+2-2=0

，
∴x0=

1

2

，
∴G（1，0，0），
∴線段AD的中點G，使GM⊥平面PBC．

點評：本題考查平面的二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點的存在性的探索．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．