Question

如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，M，N分別是AB，PC的中點，
（1）求證：MN⊥平面PCD
（2）若AB=

2

a，求二面角N-MD-C．

Answer 1

分析：（1）取PD中點E，則AE∥MN，轉化為證明AE⊥平面PCD，而由PA=AD，可證AE⊥PD①由已知可得CD⊥平面PAD可得CD⊥AE②，由①②根據線面垂直的判定定理可證AE⊥平面PCD進而可證MN⊥平面PCD
（2）設AB與CD的交點為O，連接ON，則可得ON∥PA，從而有ON⊥平面ABCD，利用三垂線法作出二面角，進而在直角三角形中求解即可

解答：（1）證明：取PD中點E，
∵E，N分別是PD，PC中點，
∴EN=

1

2

CD=

1

2

AB=AM（2分）
∴AE∥MN
∵PA=AD
∴AE⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD，CD⊥AD（4分）
PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
AE??平面PAD
∴AE⊥CD，CD∩PD=D
∴AE⊥平面PCD
∴MN⊥平面PCD（6分）
（2）解：連AC交BD于O，則O是AC中點，連ON則ON⊥ABCD（8分）
作OF⊥MD，連NF，則NF⊥MD
∴∠NFO是二面角N-DM--C的平面角，
NO=

1

2

PA=

1

2

a，OF=

3

6

a（10分）
∴tan∠NFO=

NO

OF

=

1 2 a

3 6 a

=

3

．
二面角N-MD-C為60°（12分）

點評：本題主要考查了利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，利用三垂線定理作二面角的平面角的作法，還要考生具備一定的空間想象能力和推理論證的能力．