Question

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=

π

4

，求證：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PD中點E，連接AE、EN，轉化為證四邊形AMNE為平行四邊形．即用線線平行來推導線面平行．
（2）先證AB⊥平面PAD?AB⊥MN，再利用CD∥AB可得結論．
（3）先由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，和∠APD=45°，E為PD中點?AE⊥PD?．MN⊥PD．再由MN⊥CD證出MN⊥平面PCD?要證結論．

解答：解：（1）取PD中點E，連接AE、EN
則EN

∥

.

1

2

CD

∥

.

1

2

AB

∥

.

AM，
故四邊形AMNE為平行四邊形
∴MN∥AE
又AE?平面PAD，MN?平面PAD
∴MN∥平面PAD（5分）

（2）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB
又AD⊥AB∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥AE，即AB⊥MN
又CD∥AB，∴MN⊥CD（10分）

（3）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AD
又∠APD=45°，E為PD中點∴AE⊥PD
又AE∥MN∴MN⊥PD
又MN⊥CD且PD∩CD=D
∴MN⊥平面PCD
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD（14分）

點評：本題綜合考查了面面垂直的判定和線線垂直的判定以及線面平行的判定，是對立體幾何知識的綜合考查．在證明線面平行時，一般轉化為線線平行或面面平行來證．