Question

（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱ABC?A₁B₁C₁中， AC= BC=AA₁，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）證明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A₁?BD?C₁的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析;（Ⅱ）二面角A₁?BD?C₁的大小為30^o．

解析試題分析：（I）易證DC₁⊥BD,再根據勾股定理證DC₁⊥DC,從而可證得DC₁⊥平面DCB,得到DC₁⊥BC.
(II)求二面角關鍵是作出二面角的平面角，取A₁B₁的中點為M，連結C₁M、DM,證明∠C₁DM是A₁?BD?C₁的平面角即可.
（Ⅰ）證明：由題設知，三棱柱的側面為矩形．

∵D是AA₁的中點， ∴ DC = DC₁
又 AC=AA₁，∴ DC₁² + DC² =CC₁²
∴ DC₁⊥DC
又 DC₁⊥BD，且DC₁∩DC=D
∴ DC₁⊥平面DCB．
∴ DC₁⊥BC
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，DC₁⊥BC，
又CC₁⊥BC， DC₁∩CC₁=C₁
∴ BC⊥平面CDC₁
∵ B₁C₁∥BC     ∴B₁C₁⊥平面CDC₁
∴ B₁C₁⊥A₁C₁，△A₁C₁B₁為等腰直角三角形
取A₁B₁的中點為M，連結C₁M、DM
∵ 直棱柱的底面A₁B₁C₁⊥側面AB₁，C₁M⊥A₁B₁
∴ C₁M⊥平面AB₁，C₁M⊥BD．
由（Ⅰ）知，DC₁⊥平面DCB，∴DC₁⊥BD
又C₁M∩DC₁=C₁，∴BD⊥平面C₁MD    MD⊥BD
∴∠C₁DM是A₁?BD?C₁的平面角．
在Rt△C₁MD中，C₁M=A₁C₁，C₁D= =A₁C₁，
∴sin∠C₁DM=  = ， ∴∠C₁DM=30^o
∴二面角A₁?BD?C₁的大小為30^o．
考點：本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關系，以及二面角等知識.
點評：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質是求解空間的角與距離的關鍵.求角的步驟為：一作，二證，三指，四求.