Question

【題目】如圖，某城市小區有一個矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為米的扇形綠化區域，為了使小區居民能夠更好的在廣場休閑放松，現決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅（寬度不計），點在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為元，單人弧形椅的造價每米為元，記銳角，總造價為元．

（1）試將表示為的函數，并寫出的取值范圍；

（2）如何選取點的位置，能使總造價最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）總造價由兩部分組成，根據弧長公式可求得，而切線長需構造直角三角形或借助坐標求解，最后由線段長為正，可得的取值范圍（2）利用導數求函數最值，先求導數，確定導函數零點，列表分析函數單調性變化趨勢，確定極值點，即最值點.

試題解析：解：（1）過作的垂線，垂足為；過作的垂線，垂足為．

在中，，則

在中，，

由題意易得

因此，

（2）

令， ，因為，所以 ，

設銳角滿足，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

所以當 ，總造價最小，最小值為，此時，，，因此當米時，能使總造價最小．