Question

數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明見解析．

解析試題分析：（1）由題中所給條件得，即，這是前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，我們可以利用把此式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)的遞推式，從而知數(shù)列是等比數(shù)列，通項(xiàng)易得，這樣等差數(shù)列的，，由基本量法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是由等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)相乘后取倒數(shù)所得，其前項(xiàng)和應(yīng)該用裂項(xiàng)相消法求得，而當(dāng)求得后，所要證的不等式就顯而易見成立了.
（1）∵是和的等差中項(xiàng)，∴
當(dāng)時(shí)，，∴
當(dāng)時(shí)，，∴ ，即
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴， 
設(shè)的公差為，，，∴  ∴   6分
（2）    
∴ 
∵,∴                                12分
考點(diǎn)：（1）已知數(shù)列前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消法求和與不等式。