Question

已知直線L與拋物線C：x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B（2，0）
（1）求點A的橫坐標．
（2）設動點M滿足，點M的軌跡K．若過點B的直線L₁（斜率不等于0）與軌跡K交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x²=4y得y=x²，用導數法求得直線l的斜率，再求得其方程，令y=0得點A坐標；
（2）設M（x，y由=0得得+y²=1．知軌跡K是橢圓，設
由兩個三角形同底，則，即為兩個三角形面積之比，只要求得λ即可．
解答：解：（1）由x²=4y得y=x²，y′=x．
∴直線l的斜率為y′|x=2=1．
故l的方程為y=x-1，
∴點A坐標為（1，0）．（4分）

（2）設M（x，y），則=（1，0），=（x-2，y），=（x-1，y），
由=0得（x-2）+y•0+=0，
整理，得+y²=1．軌跡K是橢圓．（9分）
設
從而得
因為E、F都在橢圓上，所以滿足橢圓方程：

消去y₂，并整理得①（11分）
由題意，設過點B的直線方程：x=ty+2，
當直線與橢圓相切時，
即（4t）²-4•（t²+2）•2=0⇒t²=2，取得切點（1，）
所以知
聯系①式知，
即△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．（15分）
點評：本題主要考查導數法求曲線的切線，和用向量法研究直線與曲線的位置關系．