Question

如圖，已知M（m，m²）、N（n，n²）是拋物線C：y=x²上兩個不同點，且m²+n²=1，m+n≠0，直線l是線段MN的垂直平分線．設橢圓E的方程為

x2

2

+

y2

a

=1(a＞0，a≠2)．
（Ⅰ）當M、N在拋物線C上移動時，求直線L斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）已知直線L與拋物線C交于A、B、兩個不同點，L與橢圓E交于P、Q兩個不同點，設AB中點為R，OP中點為S，若

OR

•

OS

=0，求橢圓E離心率的范圍．

Answer 1

分析：（1）先用M，N的坐標表示出直線MN的斜率，進而表示出直線l的斜率，根據m²+n²=1，由m²+n²≥2mn求得m和n的不等式關系，進而求得k的范圍．
（2）先根據題意整理出直線l的方程，進而代入橢圓和拋物線方程，利用P，S表示出

OR

•

OS

=0求得a和k的關系，利用（1）中k的范圍求得a的范圍，進而求得橢圓離心率的范圍．

解答：解：（1）∵直線MN的斜率kMN=

m2-n2

m-n

=m+n，
又∵l⊥MN，m+n≠0，∴直線l的斜率k=-

1

m+n

∵m²+n²=1，由m²+n²≥2mn，得2（m²+n²）≥（m+n）²，
即2≥（m+n）²，∴|m+n|≤

2

因M、N兩點不同，∴0＜|m+n|＜

2

，
∴|k|＞

2

2

即k＜-

2

2

或k＞

2

2

（2）∵l方程為：y-

m2+n2

2

=k(x-

m+n

2

)，
又∵m²+n²=1，m+n=-

1

k

，y-

1

2

=k(x+

1

2k

)，
∴l：y=kx+1，代入拋物線和橢圓方程并整理得：x²-kx-1=0（1），
（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0（2）
易知方程（1）的判別式△₁=k²+4＞0恒成立，方程（2）的判別式△₂=8a（2k²+a-1）
∵k2＞

1

2

，a＞0，
∴2k²+a-1＞a＞0，∴△₂＞0恒成立
∵R（

k

2

，

k2

2

+1），S（

-2k

a+2k2

，

a

a+2k2

），
由

OR

•

OS

=0得：-k2+a(

k2

2

+1)=0，
∴a=

2k2

k2+2

，
∵|k|＞

2

2

，∴a=

2k2

k2+2

=2-

4

k2+2

＞2-2-

4

1 2 +2

=

2

5

，

2

5

＜a＜2，
∴

2-a 2

=e，∴a=2-2e²＞

2

5

，
e²＜

4

5

，∴0＜e＜

2 5

5

，
∴橢圓E離心率的取值范圍是（0，

2 5

，5

）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質有關的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．