Question

【題目】已知右焦點為F的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點M（1， ），直線x=a與拋物線L：x2= y交于點N，且 = ，其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A、B兩點．
①若直線l與x軸垂直，過點P（4，0）的直線PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點；
②已知D為橢圓C的左頂點，若l與直線DM平行，判斷直線MA，MB是否關于直線FM對稱，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設N（a，y0），連接MN，由 = ，則OMNF為平行四邊形，則y0= ，

將M（1， ）代入拋物線方程：解得：a=2，

將M（1， ）代入橢圓方程： ，解得：b2=3，

∴橢圓的標準方程：

（2）解：①證明：由題意，直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），

則A（x1，﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

x1+x2= ，x1x2= ，①

則直線AE的方程為：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，

由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

∴x= ，

∴x=1，

∴直線AE與x軸相交于定點（1，0）；

②由題意可知，直線MF的方程為x=1，則kOM= ，設直線l：y= x+n，（n≠1），

設A（x3，y3），B（x4，y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，

△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，

x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，

則kMA+kMB= + = +

=1+ + =1+ =1﹣ =0，

直線MA，MB關于直線x=1對稱

【解析】（1）將由 = ，即可求得N點坐標，將M代入拋物線方程，即可求得a，代入橢圓方程，即可求得b的值，即可求得橢圓方程；（2）①設直線PB的方程，設B，E點坐標，將直線PB代入橢圓方程，求得直線AE的方程，利用韋達定理即可求得x的值，直線AE與x軸相交于定點（1，0）；

②設直線l的方程，代入橢圓方程，由△＞0，即可求得n的取值范圍，利用直線的斜率公式及韋達定理kMA+kMB=0，則直線MA，MB關于直線x=1對稱．