Question

已知在遞增的等差數列{a_n}中，a₁+a₄=8，a₂a₃=15．
（1）求{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數列{b_n-a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的性質得：a₂+a₃=8，再由條件構造方程x²-8x+15=0求根，且a₂＜a₃，求出a₂和a₃，求出首項和公差，代入通項公式即可；
（2）利用等比數列的通項公式可求b_n-a_n，結合（1）中的a_n代入可求b_n，利用分組求和及等比數列的前n項和公式可求．

解答： 解：（1）由題意得，a₁+a₄=8，則a₂+a₃=8，
∵a₂a₃=15，∴a₂、a₃是方程x²-8x+15=0的兩根，
∵等差數列{a_n}是遞增數列，∴a₂＜a₃，
解得a₂=3，a₃=5，公差d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（2）由題意b_n-a_n=3^n-1，∴b_n=a_n+3^n-1，
T_n=S_n+（1+3+3²+…+3^n-1）=

n(1+2n-1)

2

+

1-3n

1-3

=n2+

3n-1

2

．

點評：本題考查了等差數列的性質、通項公式和前n項和公式的靈活應用，分組求和求和及等比數列的求和公式等知識的簡單運用．