Question

已知等比數列{a_n}中，a₁＞1，公比q＞0，設b_n=log₂a_n，且b₃=2，b₅=0
（1）求證：數列{b_n}是等差數列．
（2）求數列{b_n}的前n項和S_n及{a_n}的通項a_n．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件得b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log2q，由此能證明{b_n}是以log₂a₁為首項，公差為log₂q的等差數列．
（2）由b₃=2，b₅=0，利用等差數列的通項公式求出首項和公差，由此能求出得數列{b_n}的前n項和S_n及{a_n}的通項a_n．

解答： （1）證明：∵b_n=log₂a_n，
∴b_n+1=log₂a_n+1，
∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log2

an+1

an

=log2q，
∵q為常數，∴log₂q也是常數，
∴{b_n}是以log₂a₁為首項，公差為log₂q的等差數列．
（2）解：由b₃=2，b₅=0，得

b1+2d=2 b1+4d=0

，
∴b₁=4，d=-1，
∴Sn=nb1+

n(n+1)

2

d=-

n2

2

+

9n

2

，
∴b_n=b₁+（n-1）d=5-n，
∵b_n=log₂a_n=log₂（5-n），
∴an=25-n．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意對數性質的合理運用．