Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=1，S₁₁=33．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=(

1

4

)an，求證：{b_n}是等比數列，并求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，求出首項，公差后即可求出通項公式．
（2）先求出a_n•b_n=

n

2

．（

1

2

）n=n•（

1

2

）ⁿ⁺¹   再利用錯位相消法求和即可．

解答：解：（1）由已知，且a₂=a₁+d=1，S₁₁=11a₁+55d=33，解得a₁=

1

2

，d=

1

2

，a_n=

n

2

．
 （2）bn=(

1

4

)an=（

1

2

^{） n}，

bn+1

bn

=

1

2

，數列b_n}是以

1

2

為公比的等比數列．
a_n•b_n=

n

2

．（

1

2

）n=n•（

1

2

）ⁿ⁺¹  
T_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹   ①

1

2

 T_n=+1×(

1

2

)3+2(

1

2

)4+…+（n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹+…+n•（

1

2

）^{n+2 _②}
②-①得

1

2

 T_n=(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4…+（

1

2

）ⁿ⁺¹-n•（

1

2

）ⁿ⁺²
=

1 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•（

1

2

）ⁿ⁺²
∴T_n=1-（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹=1-

2-n

2n+1

．

點評：本題考查等差數列通項公式，等比數列判定、錯位相消法數列求和，考查論證、計算、邏輯思維能力．