Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點到拋物線焦點的距離為．

（1）求的值；

（2） 設是拋物線上異于的兩個不同點，過作軸的垂線，與直線交于點，過作軸的垂線，與直線交于點，過作軸的垂線，與直線分別交于點．

求證：①直線的斜率為定值；

②是線段的中點．

Answer 1

【答案】(1) ，..

(2) ①證明見解析. ②證明見解析.

【解析】分析：（1）由拋物線定義知，所以，將點代入拋物線得，；(2) 設求得,,利用斜率公式消去、可得直線的斜率為；②設點的橫坐標分別為，求得，，根據中點坐標公式化簡即可的結果.

詳解：（1）由拋物線定義知，

所以，

將點代入拋物線得，

（2）設

①則直線的方程為：

令得，，所以

同理

所以直線的斜率為（定值）

②設點的橫坐標分別為

由①知，直線的方程為：

令得，

又直線的方程為：

令得，

所以

所以是線段的中點.