Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

，橢圓以A、B為焦點且經過點D．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）以該橢圓的長軸為直徑作圓，判斷點C與該圓的位置關系．

Answer 1

分析：（I）先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，進而可知A，B的坐標，設橢圓的標準方程，根據AB的距離求得c，把x=c代入橢圓方程，求得

b2

a

=

3

2

，進而根據a，b和c的關系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）以該橢圓的長軸為直徑作圓，求出點C到圓心的距離，與a比較即可判斷點C與該圓的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以AB所在直線為x軸，
AB中垂線為y軸建立直角坐標系，⇒A（-1，0），B（1，0）．
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令 x=c⇒y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

⇒

a=2 b= 3

．
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 點C到原點的距離為：
|OC|=

1 4 +1

=

5

2

＜ 2=a
∴點C在圓內．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系．考查了學生轉化和化歸的數學思想，基本的運算能力．