Question

【題目】已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.

(1)將f(x)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并作出其圖象；

(2)若a＋b＝1，對(duì)a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）[－1,5]

【解析】試題分析：（1）討論x的范圍：x＜﹣1，﹣1≤x≤，x＞，去絕對(duì)值，可得f（x）的分段函數(shù)的解析式，由分段函數(shù)圖象畫法可得其圖象；

（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，可得+的最小值，由題意可得|2x﹣1|﹣|x+1|≤3，結(jié)合圖象即可得到所求x的范圍．

試題解析：

(1)由已知，得f(x)＝

函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．

(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，

∴＋＝ (a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立．

∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，

∴|2x－1|－|x＋1|≤3，

結(jié)合圖象知－1≤x≤5，

∴x的取值范圍是[－1,5]．