Question

【題目】已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：

(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

(2)a＋b≤2.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由(a＋b)(a5＋b5)＝4＋ab(a2－b2)2，可知原不等式成立；

（2）由a3+b3=2轉化為=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，問題得以證明．

試題解析：

(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6

＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)

＝4＋ab(a2－b2)2≥4.

(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

＝2＋3ab(a＋b)≤2＋ (a＋b)

＝2＋，

所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.