Question

（1）已知：sinα+sinβ=

3

5

cosα+cosβ=

4

5

求cos（α-β）的值
（2）將（1）中已知條件進行適當改變，能否求出sin（α-β）的值，若能求出其值，若不能請說明理由．
（3）你能依此也創設一道類似題嗎？或將本例推廣到一般情形．

Answer 1

分析：（1）由兩角差的余弦公式以及cosα+cosβ=

4

5

，sinα+sinβ=

3

5

，可對此兩方程平方相加，即可求得cos（α-β）的值；
（2）由于sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，知需要求出正弦與余弦交叉項的乘積，由此改變條件即可；
（3）由前兩小題知，知兩角正弦和與余弦和則可解出兩角差的余弦，知兩角正弦與余弦和，則可求出兩角差的正弦．

解答：解：（1）由題意sinα+sinβ=

3

5

，cosα+cosβ=

4

5

，將此兩方程平方相加得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1
即2cos（α-β）=-1，解得cos（α-β）=-

1

2

（2）可交換兩個方程中角β的函數名且將其中一個方程中的加號改為減號，再平方相加得到sin（α-β）的值
可令sinα+cosβ=

3

5

，cosα-sinβ=

4

5

將此兩方程平方相加2-2（sinαcosβ-cosαsinβ）=1，即sin（α-β）=-

1

2

（3）由上知，若已知兩角正弦的和與余弦的和，可求出兩角差的余弦，
若已知兩角正弦與余弦的和，兩解余弦與正弦的差，可求出兩差的正弦．

點評：本題本兩角和與差的正弦函數，解題的關鍵是熟練掌握公式，本題的難點是對第二小題的分析探究，要注意根據兩角差的正弦函數展開式尋求條件的改進方法