Question

已知四棱錐中P-ABCG中，底面ABCG是矩形，D為AG的中點(diǎn)，BC=2AB=2，又PB⊥平面ABCG，且PB=1，點(diǎn)E在棱PD上，且DE=2PE
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD．

Answer 1

解：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)F，連接AF，則CF=AD且CF∥AD
∴四邊形ADCF是平行四邊形?AF∥CD
∴∠PAF（或其補(bǔ)角）為異面直線PA、CD所成的角
∵PB⊥平面ABCG，BA、BF是平面ABCG內(nèi)的直線
∴PB⊥BA，PB⊥BF
∵PB=AB=BF=1，AB⊥BC
∴PA=PF=AF=?△PAF是等邊三角形，∠PAF=60°
∴異面直線PA與CD所成的角為60°
（II）由（I）知，CF=BF=DF
∴∠CDB=90°?CD⊥BD
又∵PB⊥平面DBC?PB⊥CD
∵PB∩BD=B
∴CD⊥平面BDP?CD⊥BE
在Rt△PBD中，PB=1、BD=
∴
∵DE=2PE，得
∴?△PBE∽△PDB
∴BE⊥PD
∵CD∩PD=D
∴BE⊥平面PCD
分析：（I）取BC中點(diǎn)F，連接AF，可以證出四邊形ADCF是平行四邊形，得到CD與AF互相平行，從而得到AF與PA所成的直角或銳角就是異面直線PA與CD所成的角，再利用垂直關(guān)系和已知的線段長(zhǎng)可計(jì)算出△PAF是等邊三角形，故異面直線PA與CD所成的角為60°；
（II）利用中線等于一邊的一半證明出CD⊥BD，結(jié)合CD⊥PB得到CD⊥平面PBD，從而CD⊥BE．再在Rt△PBD中利用已知線段的長(zhǎng)可以算出，從而利用相似三角形證出BE⊥PD，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PCD．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了直線與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．