Question

已知四棱錐P-ABCD中，P在底面的射影O是四邊形ABCD內切圓的圓心，給定的四個命題：
①各側面和底面所成的二面角相等；
②點O到各側面的距離相等；
③側棱PA=PB=PC=PD；
④△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積之比是AB：BC：CD：DA．
其中正確的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：根據三垂線定理，過O作底面四邊形各邊的垂線，連接頂點與各垂足，可得二面角的平面角與各側面的垂面，然后在Rt△POM中解決即可．

解答：解：根據三垂線定理作各側面與底面所成二面角的平面角，
∵P在底面的射影O到四邊形各邊的距離相等，∴二面角的正切值都是

|OP|

R

，故①正確；
在△POM中，過O作ON⊥PM于N，∵平面POM⊥側面，所以ON為O到側面的距離，∴O到各側面的距離相等，故②正確；
∵O到各頂點的距離不一定相等，所以側棱不一定相等，故③不正確；
∵S_△PAB=

1

2

×AB×PM（斜高），∵斜高都相等，∴面積比=底邊長之比，故④正確．
故選C

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查空間中二面角的求法．根據二面角的定義可用三垂線定理作二面角的平面角．