Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為

6

4

，△ABC中，|AB|=|AC|=

7

2

，|BC|=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據題意可得：△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又因為BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進而可得答案；
（Ⅱ）先根據條件建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，結合直線PB與平面PAD所成角的正弦值，求出AP的長，進而求出兩個半平面的法向量，代入向量的夾角計算公式即可求出結論．

解答：（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又因為BC∥AD，所以AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
設AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，

a

2

）所以

FB

=（

3

，-1，-a），且

AE

=（

3

，0，0）為平面PAD的法向量，
設直線PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜

PB

，

AE

＞|=

3

4+a2 × 3

=

6

4

，解得a=2．
所以

AF

=（

3

2

，

1

2

，1）．
設平面AEF的一法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

m • AE =0 m • AF =0

，因此

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

取z₁=-1，則

m

=（0，2，-1）．
因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故

BD

為平面AFC的一法向量．
又

BD

=（-

3

，3，0），所以cos＜

m

，

BD

＞=

m • BD

| m || BD |

=

15

5

．
因為二面角E-AF-C為銳角，故所求二面角的余弦值為

15

5

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便利用已知條件得到空間的線面關系，并且便于建立坐標系利用向量的有關運算解決空間角等問題．