Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，A，C分別是橢圓的上下頂點，B是橢圓的左頂點，F是橢圓的左焦點，直線AF與BC相交于點D．若橢圓的離心率為

1

2

，則∠BDF的正切值

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意，畫出圖形可知，∠BDF和

BC

與

FA

的夾角互補，利用向量的夾角公式先算出兩向量夾角的余弦，再求出其正切值，則正切值的相反數即為所求．

解答： 解：由題意設A（0，b），C（0，-b），F（-c，0），B（-a，0），
∵e=

c

a

=

1

2

，結合a²=b²+c²，化簡得a=2c，b=

3

c，
∴

FA

=（c，

3

c），

BC

=（2c，-

3

c），設＜

FA

，

BC

＞=θ，
∴cosθ=

FA • BC

| FA || BC |

=

-c2

2c× 7 c

=-

1

2 7

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3 3

2 7

，∴tanθ=

sinθ

cosθ

=-3

3

，
∴tan∠BDF=tan（π-θ）=-tanθ=3

3

．
故答案為3

3

點評：這個題利用向量知識來解，使得問題變得簡單明了，但要注意所求的角與兩向量夾角間的互補關系．