Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）為f（x）的導數）．設a=f(0)，b=f(

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)，c=f(3)，則a、b、c三者的大小關系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、c＜a＜b
• C、c＜b＜a
• D、b＜c＜a

Answer 1

分析：由題意得對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，得到函數的對稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．由當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．比較自變量的大小即可得到函數值的大小．

解答：解：由題意得：對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函數的對稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．
因為當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．
因為-1＜0＜

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，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

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），即f（3）＜f（0）＜f（

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），
所以c＜a＜b．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的性質如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等，函數的性質一直是各種考試考查的重點內容．