Question

設函數y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，在區間（-∞，0）是減函數，且圖象過點（1，0），則不等式（x-1）f（x）≤0的解集為（ ）
A．（-∞，0）∪[2，+∞）
B．（-2，0）∪[2，+∞）
C．（-∞，0]∪（1，2]
D．（-∞，0）∪（1，2）

Answer 1

【答案】分析：根據不等式（x-1）f（x）≤0，由積商符號法則，得到f（x）≥0，或f（x）≤0，根據函數y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，在區間（-∞，0）是減函數，得到函數f（x）的對稱性和單調性，根據函數的單調性解不等式f（x）≥0，或f（x）≤0．
解答：解：∵函數y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
又∵函數y=f（x+1）在區間（-∞，0）是減函數，
∴函數f（x）在區間（-∞，1）是減函數，在區間（1，+∞）是增函數，
又f（2）=0
∴f（0）=0
∴當x＞1時，f（x）≤0=f（2）
∴1＜x≤2
當x＜1時，f（x）≥0=f（0）
∴x≤0，∴x≤0．
綜上x≤0或1＜x≤2．
故選C．
點評：考查函數的單調性和奇偶性，以及函數圖象的平移和根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，體現了轉化、運動變化和分類討論的思想方法，屬中檔題．