Question

如圖，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，現(xiàn)將△PCD沿線段CD折成60°的二面角P-CD-A，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ） 求證：PA∥平面EFG；
（II）若M為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線MF與平面EFG所成角為60°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，連接GO，OE，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得四邊形OGFE為梯形，PA∥OE，利用線面平行的判定，可得PA∥平面EFG；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求出平面EFG的法向量

n

=(0，

3

，-1)，設(shè)點(diǎn)M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，利用直線MF與平面EFG所成角為60°，建立方程，從而可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)O，連接GO，OE，則四邊形OGFE為梯形，PA∥OE

∵PA?平面EFG，OE?平面EFG，∴PA∥平面EFG；…（6分）
（Ⅱ）解：分別以O(shè)G，OD，OP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則

OG

=(3，0，0)，

OE

=(0，

3

4

，

3

4

3

)．
設(shè)平面EFG的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • OG =0 n • OE =0

，∴

3x=0 3 4 y+ 3 4 3 z=0

，
取y=

3

，得到

n

=(0，

3

，-1)．
設(shè)點(diǎn)M(λ，

3

2

，0)（0≤λ≤3），于是

MF

=(

3

2

-λ，-

3

4

，

3

4

3

)，
由題知sin60°=

| n • MF |

| n |×| MF |

，
即

3

2

=

|- 3 4 3 - 3 4 3 |

2× ( 3 2 -λ)2+ 9 16 + 9 16 ×3

，解得λ=

3

2

．
∴點(diǎn)M在CD的中點(diǎn)時(shí)，MF與平面EFG所成角為60°．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查利用空間向量解決線面角問(wèn)題，正確求平面的法向量是關(guān)鍵，屬于中檔題．