Question

（本小題滿分12分）已知函數f (x)的定義域為R，對任意的x,x都滿足f (x+x)=f (x)+f (x)，當x>0時，f (x)>0.(1)試判斷f (x)的奇偶性.(2)試判斷f (x)的單調性，并證明.(3)若f (cos2θ-3)+f (4m-2mcosθ)>0對所有的θ∈［0,］恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)  奇函數.  (Ⅱ)  增函數. （Ⅲ）m>4-2.

解析:

：解：（1）令x=x=0,則f (0)=2f (0)f (0)=0,

令x=x,x=-x,則有f (0)=f (x)+f (-x)，∴f (-x)=-f (x)，∴f (x)為奇函數.

（2）對任意的x,x∈R，設x<x，則x-x>0,f (x-x)>0，

則f (x)-f (x)=f (x)+f (-x)=f (x-x)=-f (x-x)<0,故f (x)為R上的增函數.

(3)∵f (cos2θ-3)+f (4m-2mcosθ)>0，θ∈［０,］，

∴f (cos2θ-3)>-f (4m-2mcosθ)=f (2mcosθ-4m).由（2）知f (x)是R上的增函數，

∴cos2θ-3>m(2cosθ-4)，當θ∈［0,］時恒成立.

又由2cosθ-4<0,∴m>,

而-(2-cosθ+-4)≤4-2,當且僅當2-cosθ=即cosθ=2-時取“=”,

∴m>4-2.