Question

我們知道，直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面的問題．
（1）設F₁、F₂是橢圓M：的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：的距離分別為d₁、d₂，試求d₁•d₂的值，并判斷直線l與橢圓M的位置關系．
（2）設F₁、F₂是橢圓M：（a＞b＞0）的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）的距離分別為d₁、d₂，且直線l與橢圓M相切，試求d₁•d₂的值．
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關系的充要條件（不必證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點到直線的距離公式分別計算d₁、d₂，代入d₁•d₂化簡，可以求出d₁•d₂的值，再通過直線L與橢圓方程消去y得到關于x的方程，可以求出根的差別式大于零，得到直線L與橢圓M有兩個交點，是相交的位置關系；
（2）將直線方程與橢圓方程消去y，得到關于x的方程．再利用根的判別式可得△=0，從而p²=a²m²+b²n²，將其代入d₁•d₂的表達式化簡可得d₁•d₂=b²；
（3）根據（2）運算得啟發：直線L與橢圓M相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；直線L與橢圓M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．
解答：解：（1）∵F₁（-4，0），F₂（4，0）到直線的距離分別為
∴
∴
∴直線l與橢圓C相交
（2）F₁（-c，0），F₂（c，0），直線l與橢圓M相切，點F₁、F₂在直線l的同側
又
∴△=0
∴p²=b²n²+a²m²
∴
（3）設F₁、F₂是橢圓M：（a＞b＞0）的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）的距離分別為d₁、d₂，且點F₁、F₂在直線l的同側，那么，直線l與橢圓M相交的充要條件為：d₁•d₂＜b²；直線l與橢圓M相離的充要條件為：d₁•d₂＞b²；
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、類比推理以及圓錐曲線的綜合應用等知識點，屬于難題．本題對運算的要求相當高，解題中應注意設而不求和轉化化歸思想的運用．