Question

我們知道，直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面的問題．
（1）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：

2

x-y+

5

=0的距離分別為d₁、d₂，試求d₁•d₂的值，并判斷直線l與橢圓M的位置關系．
（2）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）的距離分別為d₁、d₂，且直線l與橢圓M相切，試求d₁•d₂的值．
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關系的充要條件（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式分別計算d₁、d₂，代入d₁•d₂化簡，可以求出d₁•d₂的值，再通過直線L與橢圓方程消去y得到關于x的方程，可以求出根的差別式大于零，得到直線L與橢圓M有兩個交點，是相交的位置關系；
（2）將直線方程與橢圓方程消去y，得到關于x的方程．再利用根的判別式可得△=0，從而p²=a²m²+b²n²，將其代入d₁•d₂的表達式化簡可得d₁•d₂=b²；
（3）根據（2）運算得啟發：直線L與橢圓M相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；直線L與橢圓M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．

解答：解：（1）∵F₁（-4，0），F₂（4，0）到直線

2

x- y-+

5

=0的距離分別為d1=

|-4 2 + 5 |

3

，d2=

|4 2 + 5 |

3

∴d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|4 2 + 5 |

3

=9

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

∴59x2+50

10

x-100=0  ，△=(50

10

)2-4•59•(-100)＞0
∴直線l與橢圓C相交
（2）F₁（-c，0），F₂（c，0），直線l與橢圓M相切，點F₁、F₂在直線l的同側d1•d2=

-mc+p

m2+n2

•

mc+p

m2+n2

=

p2-m2c2

m2+n2

=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

又

x2 a2 + y2 b2 =1 mx+ny+p=0

(b2+

a2m2

n2

)x2+

2a2mp

n

x+

a2p2

n2

-a2b2=0
∴△=0
∴p²=b²n²+a²m²
∴d1•d2=

p2-a2m2+b2m2

m2+n2

=b2
（3）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，點F₁、F₂到直線l：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）的距離分別為d₁、d₂，且點F₁、F₂在直線l的同側，那么，直線l與橢圓M相交的充要條件為：d₁•d₂＜b²；直線l與橢圓M相離的充要條件為：d₁•d₂＞b²；

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、類比推理以及圓錐曲線的綜合應用等知識點，屬于難題．本題對運算的要求相當高，解題中應注意設而不求和轉化化歸思想的運用．