Question

我們知道，判斷直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面問題．
（1）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，點F₁、F₂到直線L：

2

x-y+

5

=0的距離分別為d₁、d₂，試求d₁•d₂的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關系．
（2）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，點F₁、F₂到直線L：mx+ny+p=0（m、n不同時為0）的距離分別為d₁、d₂，且直線L與橢圓M相切，試求d₁•d₂的值．
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關系的充要條件，并證明．
（4）將（3）中得出的結論類比到其它曲線，請同學們給出自己研究的有關結論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式分別計算d₁、d₂，代入d₁•d₂化簡，可以求出d₁•d₂的值，再通過直線L與橢圓方程消去y得到關于x的方程，可以求出根的差別式大于零，得到直線L與橢圓M有兩個交點，是相交的位置關系；
（2）將直線方程與橢圓方程消去y，得到關于x的方程．再利用根的判別式可得△=0，從而p²=a²m²+b²n²，將其代入d₁•d₂的表達式化簡可得d₁•d₂=b²；
（3）根據（2）運算得啟發：直線L與橢圓M相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；直線L與橢圓M相切的充要條件為：d₁d₂=b²；直線L與橢圓M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．然后選擇其中之一，結合（2）中的運算過程與結論，可得證明方法；
（4）根據類比推理的一般規律，不難推出（3）中的結論在雙曲線中的推廣：直線L與雙曲線相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：
d₁d₂=b²；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．

解答：解：（1）d1•d2=

|-4 2 + 5 |

3

•

|-4 2 - 5 |

3

=9； …（2分）
聯立方程

x2 25 + y2 9 =1 2 x-y+ 5 =0

，消去y得關于x的方程：59x 2+50 

10

x-100=0； …（3分）
∴△=(50

10

) 2+4×59×100＞0，因此直線L與橢圓M相交．…（4分）
（2）聯立方程組

x2 25 + y2 9 =1 mx+ny+p=0

，消去y可得（a²m²+b²n²）x²+2a²mpx+a²（p²-b²n²）=0…（*）…（6分）
∴△=（2a²mp）²-4a²（a²m²+b²n²）（p²-b²n²）=4a²b²n²（a²m²+b²n²-p²）=0
∴p²=a²m²+b²n²…（8分）
∵橢圓的焦點為：F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²
∴d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

=

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2…（10分）

（3）設F₁、F₂是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，
點F₁、F₂到直線L：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側．
那么直線L與橢圓相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；
直線L與橢圓M相切的充要條件為：d₁d₂=b²；
直線L與橢圓M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²　…（14分）
證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交?（*）中△＞0?p²＜a²m²+b²n²
?d1•d2=

|-mc+p|

m2+n2

•

|mc+p|

m2+n2

=

|p2-m2c2|

m2 +n2

＜

|a 2m2+b 2n 2- m2c2|

m2 +n2

=b2
同理可證：直線L與橢圓M相離?d₁d₂＞b²；直線與橢圓相切?d₁d₂=b²…（16分）．命題得證．
（寫出其他的充要條件僅得（2分），未指出“F₁、F₂在直線L的同側”得3分）
（4）可以類比到雙曲線：設F₁、F₂是雙曲線M：

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，
點F₁、F₂到直線L：mx+ny+p=0（m、n不同時為零）距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側．
那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：d₁d₂＜b²；
直線L與雙曲線M相切的充要條件為：d₁d₂=b²；
直線L與雙曲線M相離的充要條件為：d₁d₂＞b²．…（20分）

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、類比推理以及圓錐曲線的綜合應用等知識點，屬于難題．本題對運算的要求相當高，解題中應注意設而不求和轉化化歸思想的運用．