Question

（2013•崇明縣二模）某省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時） 的關系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，寫出該函數的單調區間，并選擇其中一種情形進行證明；
（2）若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數M（a）是否超標？

Answer 1

分析：（1）單調遞增區間為[0，1]；單調遞減區間為[1，24]，利用單調性的定義可以證明；
（2）先確定t的取值范圍是[0，

1

2

]，再進行分類討論，從而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函數，可得當

1

4

＜a≤

4

9

時不超標，從而可得結論．

解答：解：（1）單調遞增區間為[0，1]；單調遞減區間為[1，24]．
證明：任取0≤x₁＜x₂≤1，t（x₁）-t（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0，∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
所以函數t（x）在[0，1]上為增函數．（同理可證在區間[1，24]單調遞減）
（2）由函數的單調性知t_max（x）=t（1）=

1

2

，t_min（x）=t（0）=0，
∴t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈[0，

1

2

]，∴t的取值范圍是[0，

1

2

]．
當a∈[0，

1

2

]時，由于f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，則可記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

則g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調遞減，在（a，

1

2

]上單調遞增，
且g（0）=3a+

2

3

．g（

1

2

）=a+

7

6

∴g（0）-g（

1

2

）=2（a-

1

4

）．
故M（a）=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
（3）當0≤a≤

1

4

時，a+

7

6

≤2，∴a≤

5

6

，不滿足題意a∈[0，

1

2

]；
當

1

4

＜a≤

1

2

時，3a+

2

3

≤2，∴a≤

4

9

，∴

1

4

＜a≤

4

9

時，滿足題意a∈[0，

1

2

]．
故當

1

4

＜a≤

4

9

時不超標，當0≤a≤

1

4

時超標．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、考查求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．