Question

（2013•崇明縣二模）設函數 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，函數y=f[f（x）]-1的零點個數為

2

．

Answer 1

分析：根據函數 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，根據指數函數和對數函數的性質，我們可以分類討論，化簡函數函數y=f[f（x）]-1的解析式，進而構造方程求出函數的零點，得到答案．

解答：解：∵函數 f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，
當x≤0時
y=f[f（x）]-1=f（2^x）-1=log22x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1（舍去）
當0＜x≤1時
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=2log2x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1
當x＞1時
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=log₂（log₂x）-1
令y=f[f（x）]-1=0，log₂（log₂x）=1
則log₂x=2，x=4
故函數y=f[f（x）]-1的零點個數為2個
故答案為：2

點評：本題考查的知識點是函數的零點，根的存在性及根的個數判斷，其中根據指數函數和對數函數的圖象和性質，化簡函數的解析式是解答的關鍵．