Question

【題目】設a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用區間表示）；
（2）求函數f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D內的零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0

判別式△=3（a﹣3）（3a﹣1）

因為a＜1，所以a﹣3＜0

①當1 時，△＜0，此時B=R，所以D=A；

②當a= 時，△=0，此時B={x|x≠1}，所以D=（0，1）∪（1，+∞）；

當a＜ 時，△＞0，設方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的兩根為x1，x2，且x1＜x2，則

③當0 時，x1+x2= （1+a）＞0，x1x2=3a＞0，所以x1＞0，x2＞0

此時，D=（0，x1）∪（x2，+∞）；

④當a≤0時，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2＞0．

此時，D=（x2，+∞）．

（2）解：f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，

①當1 時，函數f（x）的零點為1與a；

②當a= 時，函數f（x）的零點為 ；

③當0 時，因為2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＞0，所以函數f（x）零點為a；

④a≤0，因為2×12﹣3（1+a）+6a＜0，2×a2﹣3（1+a）a+6a＜0，所以函數f（x）無零點

【解析】（1）對于方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0，判別式△=3（a﹣3）（3a﹣1）因為a＜1，所以a﹣3＜0，分類討論求出B，即可求集合D（用區間表示）；（2）f（x）=（x﹣1）（x﹣a），a＜1，分類討論求函數f（x）=x2﹣（1+a）x+a在D內的零點．