Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（1）求證：{

1

an

+

1

2

}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{

1

an

+

1

2

}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用錯(cuò)誤相減法即可求出數(shù)列的和．

解答： 解（1）∵a₁=1，a_n+1═

an

an+3

，
∴

1

an+1

=

an+3

an

=1+

3

an

，
即

1

an+1

+

1

2

=

3

an

+

3

2

=3（

1

an

+

1

2

），
則{

1

an

+

1

2

}為等比數(shù)列，公比q=3，
首項(xiàng)為

1

a1

+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

，
則

1

an

+

1

2

=

3

2

•3n-1，
即

1

an

=-

1

2

+

3

2

•3n-1=

1

2

(3n-1)，即a_n=

2

3n-1

．
（2）b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

  ①

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

 ②，
兩式相減得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
則 T_n=4-

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，以及數(shù)列的求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．